Die Differentialgeometrie ist der Zweig der fortgeschrittenen Mathematik, der wahrscheinlich mehr hochwertige Lehrbücher als fast jeder andere hat. Es gibt einige echte Klassiker, denen alle zustimmen, dass sie zumindest durchgesehen werden sollten. Es scheint, dass in letzter Zeit jeder und sein Cousin versuchen, das Great American Differential Geometry Textbook zu schreiben. Es ist wirklich nicht schwer zu verstehen, warum: Das Thema Differentialgeometrie ist nicht nur eine der schönsten und faszinierendsten Anwendungen von Kalkül und Topologie, sondern auch eine der mächtigsten. Die Sprache der Mannigfaltigkeiten ist die natürliche Sprache der meisten Aspekte von beiden klassische und moderne Physik – weder die allgemeine Relativitätstheorie noch die Teilchenphysik können ohne die Konzepte von Koordinatendiagrammen auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, Lie-Gruppen oder Faserbündeln korrekt ausgedrückt werden. Ich freute mich sehr auf den fertigen Text, der auf Cliff Taubes 'Math 230-Vorlesungen für den DG-Kurs für Doktoranden im ersten Jahr in Harvard basiert, den er dort seit einigen Jahren unterrichtet. Ein Buch eines anerkannten Meisters des Faches ist zu begrüßen, da man hoffen kann, dass sie die Perspektive ihres Forschers in das Material einbringen.

Nun, das Buch ist endlich da und es tut mir leid zu berichten, dass es ein bisschen enttäuschend ist. Die in dem Buch behandelten Themen sind die üblichen Verdächtigen für einen Abschlusskurs im ersten Jahr, wenn auch auf einem etwas höheren Niveau als üblich: glatte Mannigfaltigkeiten, Lie-Gruppen, Vektorbündel, Metriken für Vektorbündel, Riemannsche Metriken, Geodäten für Riemannsche Mannigfaltigkeiten, Prinzipal Bündel, kovariante Ableitungen und Verbindungen, Holonomie, Krümmungspolynome und charakteristische Klassen, Riemannscher Krümmungstensor, komplexe Mannigfaltigkeiten, holomorphe Untervielfaltigkeiten einer komplexen Mannigfaltigkeit und Kähler-Metriken. Positiv zu vermerken ist, dass es SEHR gut geschrieben ist und praktisch die gesamte aktuelle Landschaft der modernen Differentialgeometrie abdeckt. Die Präsentation ist so weit wie möglich in sich geschlossen, da das Buch insgesamt 298 Seiten umfasst und aus 19 mundgerechten Kapiteln besteht . Professor Taubes liefert detaillierte und dennoch präzise Beweise für grundlegende Ergebnisse, die seine Autorität in diesem Bereich demonstrieren. So wird eine enorme Menge sehr effizient aber ganz klar abgedeckt. Jedes Kapitel enthält eine detaillierte Bibliographie für zusätzliche Lektüre, die einer der interessantesten Aspekte des Buches ist – der Autor kommentiert andere Werke und wie sie seine Präsentation beeinflusst haben. Seine Hoffnung ist eindeutig, dass es seine Schüler dazu inspirieren wird, die anderen empfohlenen Werke gleichzeitig mit seinen zu lesen, was ausgezeichnete pädagogische Werte seitens des Autors zeigt. Leider ist dieser Ansatz ein zweischneidiges Schwert, da er mit einem der Fehler des Buches einhergeht, auf die wir gleich noch eingehen werden.

Taubes schreibt in der Tat sehr gut und er peppt seine Präsentation mit seinen vielen Einsichten auf. Außerdem gibt es in jedem Abschnitt viele gute und gut ausgewählte Beispiele, was ich für sehr wichtig halte. Es behandelt sogar Material über komplexe Mannigfaltigkeiten und die Hodge-Theorie, die die meisten Lehrbücher für Anfänger aufgrund der technischen Feinheiten der Trennung der streng differenziell-geometrischen Aspekte von den algebraischen geometrischen vermeiden. Was hier drin ist, ist in der Tat sehr gut. (Interessanterweise schreibt Taubes seinen Einfluss darauf zu, dass das Buch der legendäre Kurs des verstorbenen Rauol Bott in Harvard ist. So viele neuere Lehrbücher und Vorlesungsunterlagen zum Thema schreiben Botts Kurs mit ihrer Inspiration zu: Loring Tu's Eine Einführung in die Mannigfaltigkeiten, Ko Hondas Vorlesungsunterlagen bei USCD, Lawrence Conlon Differenzierbare Verteiler unter den bekanntesten. Es ist sehr demütig, wie ein erfahrener Lehrer ein Fach für eine Generation definieren kann.)

Leider gibt es 3 Probleme mit dem Buch, die es etwas enttäuschend machen und alle haben mit dem zu tun, was nicht im Buch. Das erste und schwerwiegendste Problem bei Taubes 'Buch ist, dass es überhaupt kein Lehrbuch ist, sondern eine Reihe von Vorlesungsskripten. Es hat Null Übungen. In der Tat sieht das Buch so aus, als hätte Oxford University Press gerade die endgültige Version von Taubes 'Online-Notizen genommen und ein Cover darauf geschlagen. Nicht dass das unbedingt ein Schlecht Natürlich – einige der besten Quellen zur Differentialgeometrie (und zur fortgeschrittenen Mathematik im Allgemeinen) sind Vorlesungsnotizen (die klassischen Notizen von S.S.Chern und John Milnors fallen mir ein). Aber für Kursarbeiten und etwas, für das Sie beträchtliches Geld bezahlen möchten – Sie möchten wirklich ein bisschen mehr als nur einen gedruckten Satz von Vorlesungsnotizen, die jemand kostenlos aus dem Internet hätte herunterladen können.

Sie sind auch viel schwieriger als Lehrbuch zu verwenden, da Sie anderswo nach Übungen suchen müssen. Ich denke nicht an eine entsprechende Reihe von Übungen vom Autor, der den Text entworfen hat Ihr Verständnis zu testen ist wirklich zu viel verlangt, um etwas zu verlangen, für das Sie 30-40 Dollar ausgeben, oder? Ist das die eigentliche Motivation hinter den sehr detaillierten und einfühlsamen Referenzen für jedes Kapitel? Die Schüler werden nicht nur ermutigt, einige davon gleichzeitig zu betrachten, sondern erforderlich um ihre eigenen Übungen zu finden? Wenn ja, sollte es wirklich speziell formuliert worden sein und es zeigt eine gewisse Faulheit seitens des Autors. Wenn es sich um eine Reihe von Vorlesungsunterlagen handelt, die einen tatsächlichen Kurs gestalten sollen, in dem der Kursleiter die Schüler durch die Literatur führt, um festzustellen, was fehlt, funktioniert das einwandfrei. Tatsächlich könnte dies für die Studenten zu einem noch aufregenderen und produktiveren Kurs führen. Aber wenn Sie ein Lehrbuch schreiben, muss es wirklich vollständig in sich geschlossen sein, damit alle anderen Referenzen, die Sie vorschlagen, streng sind Optional. Jeder Kurs ist anders und wenn das Buch keine eigenen Übungen enthält, wird die Abhängigkeit des Kurses vom Text enorm eingeschränkt. Ich bin sicher, Taubes hat alle Problemstellungen aus den verschiedenen Abschnitten des ursprünglichen Kurses – ich würde stark ermutigen Sie ihn, einen wesentlichen Satz davon in die zweite Ausgabe aufzunehmen.

Das zweite Problem – obwohl dies nicht so ernst ist wie das erste – ist, dass Sie von einem Forscher mit Taubes 'Referenzen ein wenig mehr Kreativität und Einsicht erwarten würden, wofür all diese guten Dinge gut sind. OK, zugegeben, dies ist ein Anfängertext, und Sie können nicht zu weit vom grundlegenden Spielbuch entfernt sein, oder es wird als Grundlage für spätere Studien nutzlos sein. Abgesehen davon würde ein abschließendes Kapitel, das den aktuellen Stand der Differentialgeometrie unter Verwendung aller entwickelten Maschinen – insbesondere im Bereich der mathematischen Physik – zusammenfasst, viel dazu beitragen, dem Anfänger einen aufregenden Einblick in die Spitze eines Majors zu geben Zweig der reinen und angewandten Mathematik. Manchmal schweift er in schönes Originalmaterial ab, das in solchen Büchern normalerweise nicht berührt wird: Zum Beispiel die Schwarzchild-Metrik. Aber er gibt keinen Hinweis darauf, warum es wichtig ist oder welche Rolle es für die allgemeine Relativitätstheorie spielt.

Schließlich enthält das Buch praktisch keine Bilder. Keiner. Null. Nada. OK, vorausgesetzt, dies ist ein Text für Absolventen, und Studenten sollten wirklich ihre eigenen Bilder zeichnen. Aber für mich ist eines der Dinge, die die Differentialgeometrie so faszinierend machen, dass sie ein so visuelles und viszerales Thema ist: In einem guten klassischen DG-Kurs hat man das Gefühl, dass man mit einem Bild so gut wie alles beweisen könnte, wenn man klug genug wäre . Durch eine vollständig formale, nicht visuelle Präsentation wird ein Großteil dieser konzeptionellen Aufregung beseitigt und es sieht viel trockener und weniger interessant aus, als es wirklich ist. In dieser zweiten Ausgabe würde ich erwägen, einige Bilder aufzunehmen. Sie müssen nicht viele hinzufügen, wenn Sie ein Purist sind. Einige wenige, insbesondere in den Kapiteln über charakteristische Klassen und Abschnitte von Vektor- und Faserbündeln, würden diese Teile jedoch immens verdeutlichen.

Also das endgültige Urteil? Eine sehr solide Quelle, um DG zum ersten Mal auf Graduiertenebene zu lernen, aber sie muss umfassend ergänzt werden, um die Mängel zu beheben. Glücklicherweise enthält jedes Kapitel sehr gute Referenzen. Aus diesen können leicht gute ergänzende Lektüre und Übungen ausgewählt werden. Ich kann Guillemin und Pollacks Klassiker nur empfehlen Differenzielle Topologie als vorläufige Lektüre die "Trilogie" von John M.Lee für das Lesen von Sicherheiten und Übungen, den fantastischen 2-bändigen physikorientierten Text Geometrie, Topologie und Messfelder von Gregory Naber für Verbindungen und Anwendungen zur Physik sowie viele gute Bilder und konkrete Berechnungen. Versuchen Sie für eine tiefere Darstellung der komplexen Differentialgeometrie den Klassiker von Wells und den neueren Text Komplexe Differentialgeometrie von Zhang. Mit all diesen Ergänzungen für Taubes sind Sie für einen einjährigen Kurs in moderner Differentialgeometrie in hervorragender Form.

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